こんにちは！
それでは今回も化学のお話やっていきます。
今回のテーマはこちら！
動画はこちら↓
動画で使ったシートはこちら(uncertainty principle)
それでは内容に入っていきます。
言葉で表現すると？
それではまず、不確定性原理とは何かを簡単にお話しします。
不確定性とはその名の通り、はっきりしないということです。
量子の位置と運動量は同時に決めることができず、なんとなくでしか位置を決められないというのが不確定性の簡単な表現になります。
波動関数を使った説明
それを踏まえつつ、ここからは数式も使っていきます。
今回考える波動関数はいくつかの単純な波の線形結合とします。
おなじみですが、量子の存在確率密度は絶対値の大きさの2乗で与えられます。
運動量演算子の式より、個々の波\(\phi_i\)は、こちらのように書けます。
ではここで、仮に量子の位置が\(x_0\)に定まったということを考えましょう。
このとき、存在確率密度は↑のグラフのようになり、式で書いたものが下のようになります。
\(x=x_0\)で無限大に発散し、それ以外の点では\(|\psi|^2=0\)になります。
しかし規格化条件があるため、全範囲で積分すると\(1\)という有限の値になります。
このような関数は数学や科学でたびたび見られ、ディラックのデルタ関数と呼ばれます。
\(\delta(0)\)で無限大になるようにすると、右辺は\(\delta(x-x_0)\)になります。
また、デルタ関数は\(x=x_0\)の直線を中心として左右対称な形になりますので、同じく左右対称、つまり偶関数のみで表されることになります。
\(\psi\)はこの\(\phi_i\)の足し合わせなのですが、運動量が異なる2つの波の和を考えてみましょう。
ド・ブロイ波長の式より運動量が変わると波長が変化します。
そして異なる波長の2つの波の和は、上のように\(x=x_0\)の点で強め合い、その他\(\lambda_i\)と\(\lambda_j\)の公倍数の部分で強め合いますが、それ以外の部分では打ち消しあいが起こり、振幅が小さくなります。
さらに波を足し合わせていくと、それらの波長の公倍数はどんどん大きな値となっていき、無限回足すともう見えなくなってしまいます。
すなわち\(x=x_0\)のみで強め合いが起こることになり、これはデルタ関数にどんどん近づいていきます。
↑のようにある関数を\(\sin\)と\(\cos\)の級数で表す操作は、フーリエ展開と言います。
そして、運動量を連続量として考えた場合にはフーリエ変換での表現になります。
デルタ関数をフーリエ変換すると、波長に依存しない定数となり、これはすべての波長の波の寄与が等しいということを指しています。
つまり、位置を厳密に決めようとすると、運動量がランダムになってしまうということです。
\(\Delta\)をその値のブレの大きさとすると、このような表現になります。
また、運動量を厳密に決めた時にも同様のことがいえます。
運動量が1つということは\(\psi\)が1つの波長の波で書けるということですが、そうすると存在確率密度\(|\psi|^2\)は\(x\)に依存しない定数になるため、その量子の位置はランダムになります。
ハイゼンベルグの不確定性原理
それでは最後に、ハイゼンベルグの不確定性原理というものについてお話しして終わります。
位置と運動量を同時に厳密に決めることができないということから、本当の量子の位置を知りたければ、両方の大体の値を決めたほうが良いことになります。
\(\Delta x\)と\(\Delta p\)の積が最小値をとる時が最も精度よく両者の値を決めたことになるため、ここでは\(\Delta x\Delta p\)について考えていきます。
まずここで、交換子というものを定義します。
2つの演算子\(\hat{\Omega_1}\)、\(\hat{\Omega_2}\)について、それらの交換子\([\hat{\Omega_1},\hat{\Omega_2}]\)をこのように導入します。
第一項は\(\hat{\Omega_2}\)を先に適用して得られたものに\(\hat{\Omega_1}\)を適用するもので、第二項はその逆の順番で演算子を適用したものになります。
そして\([\hat{\Omega_1},\hat{\Omega_2}]=\hat{0}\)となったとき、つまり演算子の順番に関係なく導かれる値が等しくなるとき、「\(\hat{\Omega_1}と\hat{\Omega_2}\)は可変である」と言います。
同様に、位置を導く演算子\(\hat{x}\)と運動量の\(x\)成分を導く演算子\(\hat{p_x}\)で交換子を考えてみると、こうなります。
\(\hat{x}\)はそのまま\(x\)、\(\hat{p_x}\)は\(-\rm{i}\)\(\hbar\frac{\partial}{\partial x}\)になりますので、それを入れています。
その交換子を考えるため、交換子の第二項について考えてみると、下のようになります。
最終的に得られた答えのうち、第二項は交換子の第一項と一致します。
したがって、\([\hat{x}, \hat{p_x}]\)は\(\rm{i}\)\(\hbar\)となり、\(\hat{0}\)ではないので\(\hat{x}と\hat{p_x}\)は可変ではないということになります。
ここで、値のブレの大きさ\(\Delta x\)と\(\Delta p_x\)を演算子としてこのように導入します。
ここで、\(\bar{x}\)、\(\bar{p_x}\)はそれぞれのブレの中心の値です。
そして不確定性を考慮した波動関数\(\Psi\)をこのように表すことにします。
ここで\(\alpha\)は定数です。
複素数平面において複素数同士の掛け算はベクトルの回転とみなすことができるため、これにより真の値から少しずれる効果を考えています。
ここで不確定性を加味した場合の存在確率密度\(\Psi^\ast \Psi\)はこのようになります。
途中、\([\hat{x}, \hat{p_x}]\)が出てくるので、ここは\(i\hbar\)になります。
そして、\(\psi^\ast \psi\)は不確定性を考慮する前の存在確率密度であり、\(\Psi^\ast \Psi\)と\(\psi^\ast \psi\)は、どちらも\(0\)以上の値となります。
したがって、\((\Delta x)^2+\alpha^2(\Delta p_x)^2-\alpha\hbar\)も\(0\)以上であるということになります。
ここで簡単のため、これまで演算子で考えていた\(\Delta x\)と\(\Delta p_x\)をそれらによって導かれるスカラー量\(\bar{\Delta x}\)、\(\bar{\Delta p_x}\)と置き換えます。
最小値が\(0\)以上になればよいため、最小値を求めるためにこの式を平方完成すると、下のようになります。
そして、その最小値はこのようになります。
これを整理すると、\((\bar{\Delta x})^2(\bar{\Delta p_x})^2\)の満たすべき条件式が得られます。
ここで、\(\bar{\Delta x}\)と\(\bar{\Delta p_x}\)をスカラー量のまま\(\Delta x\)、\(\Delta p_x\)と再定義すると、最終的に下の関係になります。
これが\(\Delta x\)と\(\Delta p_x\)の満たすべき条件で\(0\)という値をとらないことから、量子の位置と運動量を同時に決めることはできないということを説明しています。
これをハイゼンベルグの不確定性原理といいます。
まとめ
それでは今回の内容は以上ですので、最後おさらいをやって終わります。
今回はハイゼンベルクの不確定性原理についてお話しました。
これは一言で表すなら量子の位置と運動量は同時に決めることができないという量子力学の原則になります。
これを数式を使って簡潔に説明しようとすると、ディラックのデルタ関数はフーリエ変換すると定数になるからということになります。
平易な言葉で言うと、波長の異なる無数の波を重ねることで、位置がだんだんはっきりしてきますが、逆に波長がとりうる値の範囲はどんどん広がっていくということです。
また、その逆で運動量を1つの値に決めた場合にも今度は\(x\)が完全にランダムになります。
最後にはハイゼンベルグの不確定性原理\(\Delta x \Delta p_x\geq \frac{\hbar}{2}\)によって、数式として量子の位置と運動量を同時に決めることを説明しました。
それではどうもありがとうございました！
