【大学の数学】線形代数学における置換と符号関数を初学者でも分かりやすく解説!

数学

こんにちは!今回のテーマはこちらです!

線形代数学における置換の分類と符号関数について、理解しよう!

動画はこちら↓

動画で使ったシートはこちら(sign function)

では参りましょう!

前回のおさらい

まず、これは前回の復習ですが、値の移り先を記述したものは置換と言ってこんな風に2行の行列のような形で表現します。

そして、2つの値を入れ替えるという最も単純な操作のことは互換と言いまして、入れ替える2つの値を書いて表します。

どんな置換でも2つの値を入れ替えるという単純な操作を複数回行う事で表現できるため、置換は互換の掛け算で表すことができます。

詳しくは前回の記事をご覧ください。

【大学の数学】線形代数学における置換とは?(丁寧に解説!)
行列を理解するために重要な概念に置換があります。この記事では置換とは何かということから基本的なことを一通りまとめています!

置換の分類

それではここからが新しい内容になります。

任意の置換を互換で表す方法は一般には1通りではなくてたくさんあります。

どこから入れ替えたとしても最終的に目的のものにたどり着ければ一緒という事です。

じゃあ、互換の積という形にして何が分かんねん!という話になるんですが、そこで着目するのが、その置換を表現するために最低限必要な互換の個数です。

例えば先ほども出てきたこの置換、2つの互換を使って書きましたが、これを1つの互換で表現することはできません。

3つの値が変わっているので、少なくとも2回の入れ替えが必要という事になります。

そしてこんな風に書き換えに必要な互換の個数を考えていくと、それが偶数個になるか奇数個になるかで置換を分類することができます。

それぞれは偶置換奇置換と言います。

例えば次数が3の置換を見てみると3つが偶置換で残りの3つが奇置換という風に分けることができます。

符号関数

そして今回のテーマである符号関数の話に入っていきます。

符号関数は\(\rm{sgn}\)という演算子で表現して、置換\(\sigma\)に対して\(\rm{sgn}(\sigma)\)の値は\(\sigma\)が偶置換のときに\(1\)、奇置換の時に\(-1\)という値を取ります。

符号関数の定義はちょっとややこしいんですけど、こんなものです。

まず、この\(\Pi\)は掛け算という意味です。

こうやって書いたら\(1\)以上\(n\)以下の整数の組\((i,j)\)を全て考えて、出てきたものを全てかけるという事になります。

ただし、ダブルカウントを避けるために\(j\)は\(i\)より大きいという事にします。

次数が\(3\)の置換である\(\sigma\)の符号関数であれば、こんな式になります。

偶置換に対して\(1\)、奇置換に対して\(-1\)を返すことの証明

ではこれが本当に偶置換に対して\(1\)、奇置換に対して\(-1\)を返すという事を簡単に証明しておきます。

\(\sigma\)が互換の時

まず、\(\sigma\)が互換、すなわち、1回だけ2つの値を入れ替えただけの時を考えます。

ここでは仮に\((s,t)\)という互換を考えます。入れ替えたので\(\sigma (s)\)は\(t\)で\(\sigma (t)\)は\(s\)になります。

ではこれの符号関数を考えていくんですけど、なかなかめんどくさそうな式です。

しかし、よくよく考えてみれば\(s\)と\(t\)以外は値がそのままなので\(i\)と\(j\)が両方\(s\)か\(t\)でないときには\(\frac{\sigma (i)-\sigma (j)}{i-j}\)の値は\(1\)になります。

\(1\)をかけても何もそのままなので、結局\(i\)と\(j\)のいずれか、もしくは両方が\(s\)か\(t\)になる場合だけが残ってくることになります。

そしてここで、\(\sigma (s)=t\)と\(\sigma (t)=s\)を代入してみると\(()\)の中が全て\(1\)になって、前に出ている部分だけが\(-1\)になるので、互換の符号関数は\(-1\)だという事になります。

置換の積と符号関数の関係

では今度、置換の積について符号関数を考えていきます。

定義通りに書いた後、ここで\(\Pi\)の中をこんな風に変形してあげます。

すると最終的にはそれぞれの符号関数の積という形に分解できました。

以上のことより、偶置換は\(-1\)が偶数回、奇置換は\(-1\)が奇数回かかってくることになります。

逆置換の符号関数

そして最後はちょっとした話ですけど、逆置換の符号関数はどう書けるのかというのを考えます。

\(\sigma \sigma ^{-1}\)は単位置換で、これは互換が0個の偶置換なので、符号関数は\(1\)になります。

そして置換の積は分解できるので、結局\(\sigma\)の符号関数は\(\sigma ^{-1}\)の符号関数と同符号だと分かります。

このことから偶置換の逆置換は偶置換、奇置換の逆置換は奇置換だという事になります。

練習問題

それでは最後に1つ練習問題をやって終わりましょう!

この置換の符号関数を求めてみてください。

定義に当てはめてもいいですし、互換で書き換えて判断しても構いません。

答え

この置換を互換の積で表した場合、\((46)(36)(26)(15)\)となります。

つまり4個の互換という事なのでこれは偶置換です。

したがって符号関数は\(1\)になります。

まとめ

はい、では最後軽くまとめに入ります。

置換を互換で表した際に偶数個の互換になるものを偶置換、奇数個になるものを奇置換と呼びます。

符号関数は偶置換に対して\(1\)、奇置換に対して\(-1\)を返す関数です。

置換の積に対する符号関数はそれぞれの符号関数の積という形で表すことができます。

またこのことから、ある置換とその逆置換の符号関数は同符号であることが分かります。

すなわち、偶置換の逆置換は偶置換、奇置換の逆置換は奇置換だという事になります。

それではどうもありがとうございました!

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