【大学の数学】行列式の定義と、2、3次行列式の解法を丁寧に解説!

数学

こんにちは!それでは今回も数学の続きやっていきます。今日のテーマはこちら!

行列式の定義を知り、簡単な行列式を実際に解いてみよう!

動画はこちら↓

動画で使ったシートはこちら(determinant definition)

それでは参りましょう!

行列式の定義

まず、行列式の定義の話をします。

行列式は正方行列に対して定義できるものでして、英語ではdeterminantと言います。

それのdetを取って\(\det{\bf{\rm{A}}}\)や\(|\bf{\rm{A}}|\)のような表し方がされます。

この行列式が何を意味するのかという事を一言で表すのは難しんですけど、行列を扱ううえでとても便利なものなので、もうちょっと後の記事でしっかり説明したいと思います。

今回は、とにかく行列式というものを考えるんだという事だけ思いながら見て頂ければと思います。

その行列式の定義はこんな式です。

ここでまず、\(\sigma\)は置換のことで\(\rm{sgn}\)は符号関数です。

どちらも以前の記事で解説していますので、こちらを合わせて御覧ください。

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それで、\(S_n\)というのは\(n\)次の全ての置換の集合で、\(n!\)個分の置換が含まれています。

2次行列式の解法

そして、例えば\(2\)次正方行列の行列式はこのような式になります。

行列の各成分を\(a\)、\(b\)、\(c\)、\(d\)で表したとき、\(2\)次行列式の値は\(ad-bc\)で与えられることになります。

模式的に書くとこんな感じで、左上から右下にかけての値の積はプラスで反対側の対角線上の成分の積はマイナスになります。

\(2\)次の行列式を実際に計算してみると、こんな感じです。

3次行列式の解法

そして\(3\)次行列式の場合も比較的簡単に解くことができます。

次数が\(3\)の置換は全部で6項出てきて、正と負の項が3個ずつに分かれます。

そこでまずは正になる部分だけを考えます。

すると定義より、この3本の曲線上のそれぞれ3つの値の積が1つの項になります。

負について見るときは今度こっちの青線上の値の積を1つの項とみなします。

この方法はサラスの方法と呼ばれます。

例えば以下のように3次の行列式は求めます。

練習問題

はい、それでは恒例の練習問題です。

これら2つの行列式を求めてみてください。

答え
(1)では斜め同士の引き算をして\(2-0\)で\(2\)が答えになります。

そして(2)ではサラスの方法よりこう書けるんですけど、6つの項のうち5つに\(0\)がかかっているので結局、対角成分の積である\(6\)となります。

実はこんな風に上三角や下三角行列の行列式は対角成分の積で与えられます。詳しい話は次の記事でお話ししていきます。

まとめ

それでは最後まとめをやって終わります。

今回は行列式の定義と、\(2\)次と\(3\)次の行列式をどうやって解くのかという話をしました。

行列式はその次数の置換を全て考えて、符号も符号関数によって決めて最後に足し引きするという形になっています。

\(2\)次行列式を解く際には対角線を2本引いてその線上の値の積を足し引きします。

\(3\)次行列式を解く際にはサラスの方法を使ってプラスの項を3つとマイナスの項を3つ考えます。

次回では\(4\)次以上の行列式をどのようにして解いていくのかという話をしますので、そちらもぜひ見てください。

それではどうもありがとうございました!

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