【大学の数学】サイエンスでも超重要な重積分とヤコビアンについて簡単に解説!

数学

こんにちは!今日も数学の話をやっていきます。今回のテーマはこちら!

重積分について知り、ヤコビアンを使った置換積分ができるようになろう!

動画はこちら↓

動画で使ったシートはこちら(jacobian)

水素原子のシュレディンガー方程式を解くときにちらっと触れたんですが、それをちゃんとやっていこうと思います。

では早速内容に入っていきます。

重積分とは

まず、重積分とは何かというと、こんな感じで多変数関数を複数の変数について積分するという演算のことです。

ここでは二重積分を例としていまして、積分の範囲は\(xy\)平面上の\(\bar{U}\)という領域になります。

\(\bar{U}\)は有界な領域な領域であり、この領域上で\(f(x,y)\)は連続であるとすることで積分を考えています。

ここで、有界とは簡単に言うと閉じているということです。

もっと定義に近い言い回しをすると、\(\bar{U}\)を完全に含むような領域\(\bar{V}\)が存在するときに\(\bar{U}\)は有界であるといいます。

そして、リーマン和の考え方より、領域\(\bar{U}\)での重積分というのはまず\(\bar{U}\)を小さく分割していって、高さを\(f(x,y)\)とする立体の体積の和として考えることができます。

この考え方により、\(\bar{U}\)がこんな風にぐにゃぐにゃの形でも単純化できます。

 

重積分の計算方法

さて、ではここからは実際の計算方法の話をしていきます。

長方形の領域上での重積分

まず、シンプルに長方形上の領域での重積分を考えます。

ここからは\(f(x)\)は領域\(\bar{U}\)上で連続な関数であるとします。

領域\(\bar{U}\)は\(x\)が\(a\)から\(b\)まで、\(y\)が\(c\)から\(d\)までとします。

\([]\)は閉区間、すなわち端の値も含めるという意味です。

\(()\)は開区間で、端の値を含みません。

そして、その時の重積分はこうなります。

2つの変数についての積分ですが、まずは\(y\)を定数とみなして、\(x\)について一変数関数の積分をします。

そうすると\(x\)が消えて\(y\)だけの関数になりますので、そのあとで\(y\)について積分します。

そして、この\(xy\)の順番は交換しても同じ値になります。

\(y\)の範囲が\(x\)の関数の領域上での重積分

続いて、\(y\)の範囲が\(x\)の関数によって決められている場合を考えてみます。

領域\(\bar{U}\)のイメージはこんな感じです。

2つの関数\(y=\phi (x)\)と\(y=\psi (x)\)、そして\(x=a\)と\(x=b\)という2本の直線によって囲まれた領域が\(\bar{U}\)です。

この時の重積分はまず、\(x\)を固定して、\(y\)の範囲を関数そのまま入れてあげます。

すると、\(y\)が消えて\(x\)だけの関数になるので、そのあとで\(x\)について積分します。

例えば、円の面積が\(\pi r^2\)で与えられることを導くにはこんなことをやります。

円の式は\(x^2+y^2=r^2\)で、これを\(y\)についてとくと\(\pm \sqrt{(r^2-x^2)}\)になります。

半円の面積を2倍にすることを考えると、円の面積\(S\)は↑の形で与えられます。

ここで、\(1\)というのは高さだと思ってください。

この領域の面積はこの領域を底面とする高さ\(1\)の円柱の体積と等しい値となります。

あとは順番通り計算していくことで、円の面積の公式を導くことができました。

置換積分

それでは今度、置換積分を考えます。

置換積分とは一変数の積分だとこういうもののことです。

\(x\)を変数とするよりも違う変数を使ったほうが計算が簡単になる場合に置換積分をします。

その際、変換前後のそれぞれの微小変化量の比は微分によって求められ、積分の式の中に残ってきます。

この記事ではこの波線を引いた部分が多変数関数だとどうなるのかというのを考えていきます。

まずはいちばん簡単な二変数の置換積分を考えます。

多変数での微小変化量の前につく値がどうなるのか、結論を先にいいますと、こんな感じになります。

まず、\(x\)と\(y\)を移し先の変数である\(u\)と\(v\)で微分します。

そしてそれらをこんなふうに行列として書いて、この行列の行列式こそが、波線部のものと同等になります。

この行列式のことをヤコビアンと呼びます。

ヤコビアンは微小面積である\(dudv\)を基準にどれだけ大きくなれば\(dxdy\)になるのかという値です。

なんで行列式が面積比になるのか不思議かもしれませんが、先日上げた記事の中で、\(2\)次行列式は2つのベクトルで貼られる平行四辺形の面積になるという話をしました。

イメージとしてはこれと同じようにヤコビアンを考えるのが最も楽かと思います。

行列式と幾何の問題との関係についてはこちらをご覧ください。

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当然ですが、変数の数が増えた場合にはそれだけ考えられる偏微分のパターンが増えるため、ヤコビアンは\(N\)次行列式になります。

直交座標から極座標への変換

ヤコビアンの例として、最もよく使うのが直交座標から極座標への変換時ですので、それを考えてみましょう。

2次元

まず、2次元について考えます。

\(x\)と\(y\)を\(r\)と\(\theta\)で表したこの式より、ヤコビアンはこのようになり、最終的に\(r\)となりました。

直行系の二変数関数を極座標にして積分する際には\(r\)をつけ忘れないようにしましょう。

3次元

3次元の場合はサラスの方法によって解きますと\(r^2\sin \theta\)となります。

これはかなり重要なのでぜひできるようになってください。

行列式の解き方についてはこちらをご覧ください。

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練習問題

では本題は以上なので、練習問題をやってみましょう。

今回は2問用意しています。

(1)は半径が\(a\)の球の体積が\(\frac{4}{3}\pi a^3\)で与えられることを重積分から導いてくださいという問題です。

そして(2)は半径が\(1\)の球という領域について\(x^2+y^2+z^2\)を積分するとどんな値になるのかを考える問題です。

答え

(1)では、こんな式を立ててあげます。

球の中の無限に小さい点を数え上げるようなイメージ、もしくは球を玉ねぎ状に厚さが\(a\)になるまで重ねた時の表面積の和と考えてもいいです。

結局↑のように、球の体積の公式を導くことができました。

そして(2)は式に当てはめることで解くことができて、その答えは\(\frac{4}{5}\pi\)になりました。

まとめ

はい、それでは最後軽くおさらいをやって終わります。

今回は多変数関数の重積分とヤコビアンについてお話しました。

積分を考えるときにはひとまず有界な領域について考えます。

有界とは一言で言えば閉じた領域もいう意味です。

リーマン和の考え方を使えば、任意の有界な領域を考えることができます。

そして、重積分の簡単なパターンについて計算方法もお話しました。

重積分は1個の変数ごとに積分を考えればOKです。

それで、最後には置換積分の話をしました。

変数変換前後の微小面積、体積の増加率はヤコビアンという偏微分でできた行列の行列式になります。

これの概念的な理解のためには行列式と幾何の問題の関係が有用ですので、概要欄にある、幾何問題の動画を見ていただければと思います。

それではどうもありがとうございました!

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