【大学の数学】サイエンスでも超重要な重積分とヤコビアンについて簡単に解説!

数学
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こんにちは!

今日も数学の話をやっていきます。

今回のテーマはこちら!

多変数関数の重積分について知り、ヤコビアンを使った置換積分ができるようになろう!

動画はこちら↓

動画で使ったシートはこちら(jacobian)

では早速内容に入っていきます。

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重積分とは

まず、重積分とは何かというと、こんな感じで多変数関数を複数の変数について積分するという演算のことです。

ここでは二重積分を例としていて、積分の範囲は\(xy\)平面上の\(\bar{U}\)という領域になります。

\(\bar{U}\)は有界な領域な領域であり、この領域上で\(f(x,y)\)は連続であるとすることで積分を考えています。

ここで、有界を簡単に言うと閉じているということです。

定義に近い言い回しをすると、\(\bar{U}\)を完全に含むような領域\(\bar{V}\)が存在するときに\(\bar{U}\)は有界であるといいます。

そして、リーマン和の考え方より、領域\(\bar{U}\)での重積分というのは、まず\(\bar{U}\)を小さく分割していって、高さを\(f(x,y)\)とする立体の体積の和として考えることができます。

この考え方により、\(\bar{U}\)が下のような複雑な形でも単純化できます。

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重積分の計算方法

さて、ではここからは実際の計算方法の話をしていきます。

長方形の領域上での重積分

まず、シンプルに長方形上の領域での重積分を考えます。

ここからは\(f(x)\)は領域\(\bar{U}\)上で連続な関数であるとします。

領域\(\bar{U}\)は\(x\)が\(a\)から\(b\)まで、\(y\)が\(c\)から\(d\)までとします。

\([]\)は閉区間、すなわち端の値も含めるという意味です。

\(()\)は開区間で、端の値を含みません。

そして、そのときの重積分はこうなります。

2つの変数についての積分ですが、まずは\(y\)を定数とみなして、\(x\)について一変数関数の積分をします。

そうすると\(x\)が消えて\(y\)だけの関数になりますので、そのあとで\(y\)について積分します。

そして、この\(x\)と\(y\)の順番は交換しても同じ値になります。

ただし、積分領域に変数が入っている場合は例外です。

\(y\)の範囲が\(x\)の関数の領域上での重積分

続いて、\(y\)の範囲が\(x\)の関数によって決められている場合を考えてみます。

領域\(\bar{U}\)のイメージはこんな感じです。

2つの関数\(y=\phi (x)\)と\(y=\psi (x)\)、そして\(x=a\)と\(x=b\)という2本の直線によって囲まれた領域が\(\bar{U}\)です。

このときの重積分は、まず\(x\)を固定して、\(y\)の範囲を関数そのまま入れます。

すると、\(y\)が消えて\(x\)だけの関数になるので、そのあとで\(x\)について積分します。

例えば、円の面積が\(\pi r^2\)で与えられることは、以下のようにして導くことができます。

円の式は\(x^2+y^2=r^2\)で、これを\(y\)について解くと、\(\pm \sqrt{(r^2-x^2)}\)になります。

半円の面積を2倍にすることを考えると、円の面積\(S\)は上の形で与えられます。

ここで、\(1\)というのは高さだと思ってください。

この領域の面積はこの領域を底面とする高さ\(1\)の円柱の体積と等しい値となります。

あとは順番通り計算していくことで、円の面積の公式を導くことができました。

置換積分

それでは今度、置換積分を考えます。

置換積分とは、一変数の積分だとこういうもののことです。

\(x\)を変数とするよりも違う変数を使ったほうが計算が簡単になる場合に置換積分をします。

その際、変換前後のそれぞれの微小変化量の比は微分によって求められ、積分の式の中に残ってきます。

この記事ではこの波線を引いた部分が多変数関数だとどうなるのかというのを考えていきます。

まずはいちばん簡単な二変数の置換積分を考えます。

多変数での微小変化量の前につく値がどうなるのか、結論を先にいいますと、こちらの式になります。

まず、\(x\)と\(y\)を移し先の変数である\(u\)と\(v\)で微分します。

そしてそれらをこんなふうに行列として書いて、この行列の行列式こそが、波線部のものと同等になります。

この行列式のことをヤコビアンと呼びます。

二次元空間におけるヤコビアンは、微小面積である\(dudv\)を基準にどれだけ大きくなれば\(dxdy\)になるのかという値です。

先日上げた記事の中で、\(2\)次行列式は2つのベクトルで貼られる平行四辺形の面積になるという話をしましたが、これと同じイメージです。

行列式と幾何の問題との関係についてはこちらをご覧ください。

【大学の数学】行列式の意味と利用方法をわかりやすく解説!!
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当然ですが、変数の数が増えた場合には、それだけ考えられる偏微分のパターンが増えるため、ヤコビアンは\(N\)次行列式になります。

直交座標から極座標への変換

ヤコビアンの例として、直交座標から極座標への変換の場合を考えてみましょう。

2次元

まず、2次元について考えます。

\(x\)と\(y\)を\(r\)と\(\theta\)で表した式より、ヤコビアンは下のようになり、最終的に\(r\)となりました。

直交系の二変数関数を極座標にして積分する際には、\(r\)をつけ忘れないようにしましょう。

3次元

3次元の場合、行列式をサラスの方法によって解くと、\(r^2\sin \theta\)となります。

この結果は、物理化学で頻繁に使われます。

低次の行列式の解き方についてはこちらをご覧ください。

【大学の数学】行列式の定義と2、3次行列式の解法をわかりやすく解説!
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練習問題

では本題は以上なので、練習問題をやってみましょう。

今回は2問用意しています。

(1)は半径が\(a\)の球の体積が\(\frac{4}{3}\pi a^3\)で与えられることを重積分から導いてくださいという問題です。

そして(2)は半径が\(1\)の球という領域について\(x^2+y^2+z^2\)を積分すると、どんな値になるのかを考える問題です。

答え

(1)では、まず下の式を立てます。

球の中の無限に小さい点を数え上げるようなイメージ、もしくは球を玉ねぎ状に厚さが\(a\)になるまで重ねた時の表面積の和と考えてもいいです。

こうすることで、球の体積の公式を導くことができました。

そして(2)は、式に当てはめることで解くことができて、その答えは\(\frac{4}{5}\pi\)になります。

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まとめ

はい、それでは最後軽くおさらいをやって終わります。

今回は多変数関数の重積分とヤコビアンについてお話しました。

積分を考えるときにはひとまず有界な領域について考えます。

有界とは一言で言えば閉じた領域もいう意味です。

リーマン和の考え方を使えば、任意の有界な領域を考えることができます。

そして、重積分の簡単なパターンについて計算方法もお話しました。

重積分は、1個の変数ごとに積分を考えればよいです。

そして最後には、置換積分の話をしました。

変数変換前後の微小面積、体積の増加率はヤコビアンという偏微分でできた行列の行列式になります。

それではどうもありがとうございました!

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