【大学の物理化学】波が満たす条件式(波動方程式)と複素数の波について、わかりやすく解説！！

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古典的な波

波とは、同じパターンが繰り返し現れるもの、また、空間を通じて伝播するものです。

現実世界で波を記述する場合のパラメーターとしては振幅、周期、波長、位相のずれが挙げられます。

高校の物理で習ったように位置$$と時刻$$に依存する単一の波は、下の式で与えられます。

これに加えて周期や波長、振幅を変えた正弦波の和も、決まったパターンを示す波といえます。

波動方程式

今回は、より一般的に、波がどのような条件式を満たすのかという話をしていきます。

その前にまず、先ほどの関数について、$$を角周波数$$、$$を角波数$$と書き換えておきます。

まず、偏微分を考えてみましょう。

偏微分とは、多変数関数をある変数以外固定した状態で微分する演算方法です。

例えば、$$についての一階偏微分は、下のようになります。

もう1つの変数である$$は定数として、扱っています。

今度、これをもう一度$$について微分してみましょう。

すると、$$という元の波と同じものが現れるため、二階偏微分は$$とも書くことができます。

同様に、$$についても微分してみると、$$の二階偏微分は$$になります。

つまり、以下の関係が成り立ちます。

ここで、波長を周期で割ったものが波の速さに相当することから、$$を速さ$$と置くと、右のような等式が得られます。

この式は、波であれば成り立つものであり、波動方程式と呼ばれます。

三次元空間での波動方程式

ここまで一次元で考えていたものを三次元に拡張すると、以下のようになります。

ここであるベクトル演算子を導入します。

$$の記号はナブラと呼び、下のように定義されます。

ここで、$$は各軸方向への単位ベクトルを表しています。

左辺のかっこの中身は、$$というベクトルどうしの内積$$であり、これをラプラシアンと呼びます。

記号では、$$と表します。

練習問題

最後、練習問題をやってみましょう。

高校物理で習った波は実数でしたが、実は、複素数でも波動方程式を満たすことがあります。

ということで、実際に$$が波動方程式を満たすことを確かめてください。

まとめ

はい、今回の内容は以上です。

間違いの指摘、リクエスト、質問等あれば、Twitter(https://twitter.com/bakeneko_chem)かお問い合わせフォームよりコメントしてくださると、助かります。

それではどうもありがとうございました！