こんにちは!
今回のテーマはこちら!
動画はこちら↓
動画で使ったシートはこちら(wave equation)
古典的な波
波とは、同じパターンが繰り返し現れるもの、また、空間を通じて伝播するものです。
現実世界で波を記述する場合のパラメーターとしては振幅、周期、波長、位相のずれが挙げられます。
高校の物理で習ったように位置
これに加えて周期や波長、振幅を変えた正弦波の和も、決まったパターンを示す波といえます。
波動方程式
今回は、より一般的に、波がどのような条件式を満たすのかという話をしていきます。
その前にまず、先ほどの関数について、
まず、偏微分を考えてみましょう。
偏微分とは、多変数関数をある変数以外固定した状態で微分する演算方法です。
例えば、
もう1つの変数である
今度、これをもう一度
すると、
同様に、
つまり、以下の関係が成り立ちます。
ここで、波長を周期で割ったものが波の速さに相当することから、
この式は、波であれば成り立つものであり、波動方程式と呼ばれます。
三次元空間での波動方程式
ここまで一次元で考えていたものを三次元に拡張すると、以下のようになります。
ここであるベクトル演算子を導入します。
ここで、
左辺のかっこの中身は、
記号では、
練習問題
最後、練習問題をやってみましょう。
高校物理で習った波は実数でしたが、実は、複素数でも波動方程式を満たすことがあります。
ということで、実際に
このように、二階偏導関数が
これは、量子力学をやるうえでとても重要なことなので、ぜひ覚えておいてください。
まとめ
はい、今回の内容は以上です。
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それではどうもありがとうございました!