こんにちは！
それでは今回も化学のお話やっていきます。
今回のテーマはこちら！
動画はこちら↓
動画で使ったシートはこちら(tunneling effect)
それでは内容に入っていきます！
トンネル効果とは
まずトンネル効果を言葉で説明すると、量子はある確率でポテンシャルの障壁を透過するということです。
壁に大きな物体をぶつけても跳ね返るだけですが、量子の場合は一部だけが跳ね返り、残りは壁を透過します。
調和振動子に見るトンネル効果
ここからは、数式を使ってお話ししていきます。
まずは調和振動子の例です。
マクロに見た場合、ポテンシャルに拘束された物体は、振幅\(A\)の単振動をします。
このとき、\(-A\)より小さい領域、\(A\)より大きい領域に物体は存在しません。
これに対してミクロに見た世界ではエネルギーが不連続となり、波動関数はエルミート多項式\(H_n(\xi)\)と\(\exp{(-x^2)}\)に比例します。
詳しくは過去にあげた調和振動子の記事を参照してください。
そして、量子数が\(0\)のときにはエルミート多項式が\(1\)となり、(規格化定数)\(\displaystyle \times \exp{(-\frac{\alpha^2 x^2}{2})}\)が波動関数になります。
ここで、\(\displaystyle \alpha=\frac{m\omega}{\hbar}\)です。
これは、あらゆる\(\displaystyle x\)について、常に正となる関数だとわかります。
これはすなわち、ポテンシャルカーブの外側の点においても存在確率が\(0\)にならないことを意味します。
古典的に存在しえない領域にも量子がにじみ出るということです。
境界条件から透過比を導出
ここからは、入射波のうちどれだけがポテンシャル障壁で跳ね返り、どれだけが透過するのかを式で導いてみます。
計算モデル
計算に使うモデルは、次のとおりです。
\(\displaystyle 0\leq x \leq a\)の領域に大きさ\(V_0\)の壁があって、\(x\)のマイナス側から量子を入射させます。
屈折率が変わる界面では、一部の波が跳ね返ります。
図のように領域\(\rm{I}\)、\(\rm{II}\)、\(\rm{III}\)と分けると、領域\(\rm{III}\)にある波が透過波ということになります。
各領域の波動関数
それでは、各領域について波動関数を考えましょう。
領域Iについては、ポテンシャルが\(0\)のシュレディンガー方程式を解いて、\(k_\rm{I}\)を\(\displaystyle \frac{\sqrt{2mE}}{\hbar}\)と置くと、波動関数は下のようになります。
ここで、\(\exp{(\rm{i}\mathit{k}_I\mathit{x})}\)は正方向、\(\exp{(-\rm{i}\mathit{k}_I\mathit{x})}\)は負の方向へ進む波になります。
これはつまり、前者が入射波、後者が反射波になります。
領域\(\rm{II}\)においてはポテンシャルが\(V_0\)であり、\(k_{\rm{II}}\)を\(\displaystyle \frac{\sqrt{2m(V_0-E)}}{\hbar}\)と置くと、先ほどと同様に入射波と反射波で書けます。
領域\(\rm{III}\)の場合は反射波はなく、また領域と同じくポテンシャルが\(0\)なので、\(k_{\rm{III}}=k_\rm{I}\)となり、波動関数は下のようになります。
境界条件と透過比
次に、境界条件を考えます。
2つの領域の境界では、波が不連続になったり、折れ曲がったりすることはなく、滑らかにつながるはずです。
そのため、この4つの式が成り立つことになります。
先ほど考えた各領域の波動関数を入れると、下のようになります。
ここで、上から順に①~④式と呼ぶことにします。
求めたいのは反射比と透過比ですが、それは波動関数の係数部分の比の2乗で表すことができるので、これを目指して式変形をしていきます。
まずは②式と④式から\(\exp{(ik_\rm{I}a)}\)を消去すると、\(A_{\rm{II}}\)を\(B_{\rm{II}}\)で表せます。
①式にこれを代入すると、\(B_{\rm{II}}\)も\(A_\rm{I}\)と\(B_\rm{I}\)で表すことができます。
これを③式に代入すると、\(A_\rm{I}\)と\(B_\rm{I}\)の比を導くことができ、これの2乗をとることで、反射比が求められます。
入射した波は反射するか透過するしかないため、\(1\)からこの反射比を引いたものが透過比になり、実際にこのように求めることができます。
この透過比は、ポテンシャル\(V_0\)の大きさと壁の厚さ\(a\)に依存することになります。
まとめ
今回の内容は以上です。
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それではどうもありがとうございました！
