こんにちは！
それでは今日も数学をやっていきます。
今回のテーマはこちら！
動画はこちら↓
動画で使ったシートはこちら(cofactor expansion)
次数が上がると、行列の成分は\(n^2\)で増えていって、置換の数は\(n!\)で増えていくので、一気に解くのが面倒くさくなります。
そこで、どう対処していくのかという話をしていきます。
それでは内容に入っていきます！
行列式を変形する際のルール
まず、行列式を簡単な形へ変形させるためのルールをお話しします。
一気にお見せしたので大変ですが、1つずつ↓の定義から確かめてみるのが良いと思います。
行列式の定義についてはこちらをご覧ください。
特に①、②、③が成り立てば④が成り立つというように連鎖するので、そこまで時間はかかりません。
4次以上の行列式の解法
では実際に大きな行列の行列式を解くということを考えていきます。
2次、3次の行列式の解き方については、こちらの記事で解説しています。
ここでは便利なテクニックを2つ紹介します。
次数下げ
まず1つ目が次数下げです。
行列の\((1,1)\)成分が\(0\)ではない値で、かつ1行目または1列目の\((1,1)\)成分以外がすべて\(0\)であったとき、この行列式はこのように書くことができます。
\((1,1)\)成分が前に出てきて、こっちの行列式は1行目と1列目を取り除いて次数が1つ下がったものになっています。
次数が下がるほど、計算が簡単になるのでこうやって\(2\)次や\(3\)次まで落としてくれば手計算が現実的になってきます。
なぜ、次数を下げることができるのか、置換を考えてみると、\(1\)を\(1\)へ移す場合以外はすべて\(0\)になってしまうので、\(S_n\)の条件に\(\sigma (1)=1\)というのが追加されまます。
結局、\(\sigma (2)\)から\(\sigma (n)\)までが自由に変えられることになるので次数が減ることと等しくなります。
三角行列の次数下げ
そしてこの次数下げが連続してできる場合があります。
それが三角行列や対角行列です。
この場合は連続して次数を下げられるので、結局対角成分の積になります。
\(\ast\)の部分がどうなっていようと行列式の値は変化しません。
そのため、すべての行列式が三角行列であれば、計算は簡単にできますが、実際はそうはいきません。
そこで思い出していただきたいのが行列の簡約化です。
簡約化については、こちらの記事をご覧ください。
簡約化によって上三角行列に変形させるということをします。
ただし、簡約化した後の行列式が元の行列式といつも同じ値になるわけではありません。
先ほど紹介した5つのルールに則って行列式にマイナスをつけたり、定数をかけたりしながら、同時に行列の簡約化をしていくことになります。
余因子展開
では、続いて大きな行列式を解く際のテクニックの2つ目、余因子展開というものについて、お話しします。
この方法は、\(0\)が多い行または列をもつ行列について計算を行う際に、最も威力を発揮するものです。
計算式はこちらのとおりです。
言葉で説明していきますと、まず行列の中で着目する行または列を決めてあげます。
この式では\(i\)行目に着目しています。
そして今度はすべての列について考えていきます。
\(k\)列目について考えた際には、まず\((-1)^{i+k}\)が出てきてそこに行列の\((i,k)\)成分をかけます。
最後に、元の行列から\(i\)行目と\(k\)列目を取り除いて、次数が1つ下がった行列の行列式をかけます。
ここで、着目する行はどれでもよいため、とにかく1つ決めてください。
実際にやってみると、次のようになります。
この行列式を2行目に着目して余因子展開していきます。
2行目を選ぶのは、成分に\(0\)が多くて計算が簡単だからです。
実際に展開するとこんな式になります。
最終的には4つの項のうち3つが\(0\)になるので\(3\times 3\)次行列式という形になり、このように求めることができました。
練習問題
はい、それでは実際に練習問題をやってみましょう。
この行列式の値を求めてみてください。
次数下げ、余因子展開どちらを使っていただいてもよいですし、両方やって頂いても構いません。
するとこんな形になって、最終的に\(-219\)となりました。
次数下げでもこの値になっていれば正解です。
まとめ
それではまとめに入ります。
今回は\(4\)次以上の大きな行列式をどうやって解くのかというお話をしました。
前半で紹介したルールは次数下げのために簡約化を行うためのルールでした。
またじっくり見ておいてください。
そして、上三角行列については連続で次数下げができるので、その行列式は対角成分の積になります。
最後は余因子展開を行いました。
この方法は特に\(4\)次行列式を解く場合や、\(0\)が多い行列の行列式を解く場合にとても役に立つテクニックです。
初めは変形になれないと思うので、適当な行列を自分で作って練習してみてください。
それではどうもありがとうございました！
