【大学の数学】4次以上の大きな行列式の解き方(次数下げ、余因子展開)を丁寧に解説!

数学

こんにちは!それでは今日も数学をやっていきます。

今回のテーマはこちら!

次数の大きな行列式をどうやって解くのか考えよう!

動画はこちら↓

動画で使ったシートはこちら(cofactor expansion)

次数が上がると、行列の成分は\(n^2\)で増えていって、置換の数は\(n!\)で増えていくので、一気に解くのが面倒くさくなります。

そこで、どう対処していくのかという話をしていきます。

それでは内容に入っていきます!

行列式を変形する際のルール

まず、行列式を簡単な形へ変形させるためのルールをお話しします。

一気にお見せしたので大変ですが、なれればどうという事はないので、とりあえずじっくりと見てもらうか、↓の定義から確かめてみるのが良いと思います。

行列式の定義についてはこちらをご覧ください。

【大学の数学】行列式の定義と、2、3次行列式の解法を丁寧に解説!
行列式の定義を実際の計算例も含めて丁寧に解説しています!気軽に見てください~。

特に①、②、③が成り立てば④が成り立つみたいな感じで連鎖するのでそこまで時間はかかりません。

4次以上の行列式の解法

では実際に大きな行列の行列式を解くという事を考えていきます。ここでは便利なテクニックを2つ紹介します。

次数下げ

まず1つ目が次数下げです。

行列の\((1,1)\)成分が\(0\)ではない値で、且つ1行目または1列目の\((1,1)\)成分以外が全て\(0\)であったとき、この行列式はこのように書くことができます。

\((1,1)\)成分が前に出てきて、こっちの行列式は1行目と1列目を取り除いて次数が1つ下がったものになっています。

次数が下がるほど、計算が簡単になるのでこうやって\(2\)次や\(3\)次まで落としてくれば手計算が現実的になってきます。

なぜ、次数を下げることができるのか、置換を考えてみると、\(1\)を\(1\)へ移す場合以外は全て\(0\)になってしまうので、\(S_n\)の条件に\(\sigma (1)=1\)というのが追加されまして、結局\(\sigma (2)\)から\(\sigma (n)\)までが自由に変えられることになるので次数が減ることと等しくなります。

三角行列の次数下げ

そしてこの次数下げが連続してできる場合があります。

それが三角行列や対角行列です。

この場合は連続して次数を下げられるので、結局対角成分の積になります。

\(\ast\)の部分がどうなっていようと行列式の値は変化しません。

そのため、全ての行列式が三角行列であれば計算は楽なんですけど、実際はそうはいきません。

そこで思い出していただきたいのが行列の簡約化です。

何それ?という方はこちらの記事をご覧ください。

【大学の数学】行列の種類、簡約化とランクについて基礎の基礎から解説!
以前は高校の範囲だった行列。化学に限らず、様々な場面で活躍します。本記事では行列とは何かという話から、最も基本的な操作である簡約化のやり方を丁寧に解説しています!

簡約化によって上三角行列に変形させるという事をやってあげます。

ただし、簡約化した後の行列式が元の行列式といつも同じ値になるわけではありません。

先ほど紹介した5つのルール、あれに則って行列式にマイナスをつけたり定数かけたりしながら同時に行列の簡約化をしていくことになります。

余因子展開

では、続いて大きな行列式を解く際のテクニックの2つ目、余因子展開というものについてお話しします。

この方法は\(0\)が多い行または列をもつ行列について計算を行う際に最も威力を発揮するものです。

計算式はややこしくてこんな感じです。

言葉で説明していきますと、まず行列の中で着目する行または列を決めてあげます。

この式では\(i\)行目に着目しています。

そして今度は全ての列について考えていきます。

\(k\)列目について考えた際にはまず、\((-1)^{i+k}\)が出てきてそこに行列の\((i,k)\)成分をかけます。

最後に元の行列から\(i\)行目と\(k\)列目を取り除いて次数が1つ下がった行列の行列式をかけます。

ここで、着目する行はなんでも良くて、とにかく1つ決めてあげれば良いです。

言葉で聞いても訳わからないと思うので、実際にやってみましょう。

この行列式を2行目に着目して余因子展開していきます。

2行目を選ぶのは\(0\)が多くて計算が簡単だからです。

実際に展開するとこんな式になります。

最終的には4つの項のうち3つが\(0\)になるので\(3\times 3\)次行列式という形になり、このように求めることができました。

練習問題

はい、それでは最後実際に練習問題をやってみましょう。

この行列式の値を求めてみてください。

次数下げ、余因子展開どちらを使っていただいてもよいですし、両方やって頂いても構いません。

答え
僕は3行目についての余因子展開をしてみました。

するとこんな形になって、最終的に\(-219\)となりました。

次数下げでもこの値になっていれば正解です。

まとめ

それではまとめに入ります。

今回は\(4\)次以上の大きな行列式をどうやって解くのかというお話をしました。

前半で紹介したルールは次数下げのために簡約化を行うためのルールでした。

またじっくり見ておいてください。

そして、上三角行列については連続で次数下げができるので、その行列式は対角成分の積になります。

最後は余因子展開を行いました。

この方法は特に\(4\)次行列式を解く場合や、\(0\)が多い行列の行列式を解く場合にとても役に立つテクニックです。

初めは変形になれないと思うので、適当な行列を自分で作って練習してみてください。

それではどうもありがとうございました!

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