【大学の数学】行列式の意味と利用方法を丁寧に解説!!

数学

こんにちは!それでは今回も数学の続きをやっていきます。

今日のテーマはこちら!

行列式がどんなことに使えるのか考えてみよう!

動画はこちら↓

動画で使ったシートはこちら(determinant meaning)

では内容に行きましょう!

正則行列の判定

まず、行列式は逆行列が存在するかどうかの判定に使うことができます。

逆行列が存在する正方行列のことは正則行列と呼ばれ、ここに示すような条件を満たします。

今回証明はしませんが、これらの条件は同値であるため、例えば2つ目は満たすけど3つ目は満たさないから正則行列ではないよねということではなくて、どれか1つ満たしていれば同時に他の全ての条件を満たすことになります。

そして、この5つ目にあるように行列式の値が\(0\)ではないときに逆行列は存在し、逆行列が存在するなら行列式は\(0\)になりません。

例えばこの行列式であれば、ご覧の通り\(0\)になるので、正則行列ではないことが言えます。

行列式と幾何の関係

そしてここからは行列式と幾何、つまり図形の問題との関係について考えていきましょう。

2つのベクトルで張られる平行四辺形の面積

まず、2次元平面に置いて2つの縦ベクトル \(\vec{a}_1\)と\(\vec{a}_2\)があったとします。

このとき、 \(\vec{a}_1\)と\(\vec{a}_2\)を並べた行列の行列式の絶対値は2つのベクトルで張られた平行四辺形の面積と等しくなります。

\(\vec{a}_1\)を\((a,c)\)、\(\vec{a}_2\)を\((b,d)\)、2つのベクトルがなす角を\(\theta\)として証明を考えます。

平行四辺形の面積はそれぞれの辺の長さの積に\(\sin \theta\)をかけたものになります。

これを変形していくと、この面積が\(ad-bc\)となり確かに行列式の値と等しくなることが分かります。

3つのベクトルで張られた平行六面体の体積

ではこれの3次元版を今度は考えてみましょう。

3つの3次元縦ベクトル\(\vec{a}_1\)、\(\vec{a}_2\)、\(\vec{a}_3\)を並べた行列の行列式の絶対値は、この3つのベクトルで張られる平行六面体の体積と等しくなります。

ここで、その体積は\(V\)とおいておきます。

\(\vec{a}_1\)と\(\vec{a}_2\)の外積について考えると、ここの底面積がその絶対値で与えられることになります。

また、その外積と \(\vec{a}_3\)がなす角を\(\theta\)とすると底面と\(\vec{a}_3\)がなす角は\(\frac{\pi}{2}-\theta\)になります。

体積\(V\)は底面積×高さなので、こう書けまして、結局は\(\vec{a}_1 \times \vec{a}_2\)と\(\vec{a}_3\)の内積になります。

ここで、行列式について考えてみます。

まず、この行列式を3列目に対して余因子展開します。

このやり方については前回の記事で解説しておりますので、こちらを見てください。

【大学の数学】4次以上の大きな行列式の解き方(次数下げ、余因子展開)を丁寧に解説!
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すると、余因子行列の部分は実は \(\vec{a}_1 \times \vec{a}_2\)と等しくなりまして、さらに\((a_{13} a_{23} a_{33})\)はベクトルの\(\vec{a}_3\)なので、ベクトルの内積という風に書き換えることができて、先ほど変形した体積\(V\)と等しいということになります。

3点が同一直線状にあるかどうかの判定

そして今回紹介する行列式の使い方、最後は同一直線上、同一平面上の判定です。

まずは直線についてお話ししますが、平面上のある3点が同一直線上の点だった時、このそれぞれの座標を縦に並べて3行目に\(1\)を並べたこの行列式が\(0\)になります。

これはなぜかというと、仮に3点が直線\(ax+by+c=0\)上の点だった時、この連立方程式を満たす\((a,b,c)\)の組が全て\(0\)というもの以外に存在することになります。

全て\(0\)なら直線の式になりませんからね(笑)

そして、この行列が仮に正則行列だった場合は、ただ1つの厳密解が得られ、右辺が零ベクトルの時の解は零ベクトルしかないことになります。

したがってこの行列は正則行列ではないことになり、その行列式の値は\(0\)になります。

そして、転置行列の行列式は元の行列式と等しいという関係があるのでこれを使って、この行列式が0であるということになります。

4点が同一平面上にあるかどうかの判定

それでこれは同一平面上にある4点にも同じことが言えます。この行列式が\(0\)になった時、その4点は同一平面上にあることが示せます。

練習問題

それでは最後、今回紹介した行列式と幾何の関係を実際に使ってみましょう!

今回は2問の練習問題を用意しました。

まず(1)ではこれら3点が通る平面の式を考えてください。高校の知識でもできますが、ぜひ行列式をどう使ったら求められるのか考えてみてください。

そして(2)は、これら3つのベクトルで張られた平行六面体の体積を求めてくださいという問題です。

答え
(1)では未知の点\((x,y,z)\)を考えてこれが与えられている3点と同一平面上にあるということはどういうことか考えます。

すると今回話した内容より、この行列式が\(0\)になればよいということになります。

あとは次数下げや余因子展開によって計算していけば、最終的に\(3x+5y4z-11=0\)という式を得ることができました。

続いて(2)では素直に\(3\)次行列式をサラスの方法を用いて解くだけです。

サラスの方法についてはこちらで解説しています。

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行列式の値は\(-7\)になって、平行四辺形の面積はその絶対値になるので\(7\)という風に計算できました。

まとめ

はい、今回の内容は以上です。

今回は行列式がどんなことに役立つのかというテーマでお話ししました。

まず、その行列が正則行列、すなわち逆行列が存在する行列かどうかの判定に使うことができます。

行列式が0の時、その行列には逆行列が存在しません。

そしてそこから行列式は幾何の問題に使うことができることもお話ししました。

2つのベクトルで張られた平行四辺形の面積や3つのベクトルで張られた平行六面体の体積は、そのベクトルを並べた行列の行列式の絶対値になります。

それで最後は複数の点が同一直線状、同一平面上であるかどうかを調べるために行列式が使えるという話をしました。

それぞれの点の座標を縦に並べ、一番下の行に\(1\)を並べるということは知っておいてください。

それではどうもありがとうございました!

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