こんにちは！
今日も化学のお話やっていきます。
今回のテーマはこちら！
動画はこちら↓
動画で使ったシートはこちら(converted mass)
では参りましょう！
今回考えるモデル
ここで考えるのは、2つの物体がばねで繋がれた、下のようなモデルです。
ばね定数が\(k\)、質量が\(m\)、位置が\(x\)です。
この系の重心\(\displaystyle X\)は、下のように与えられます。
そして、重心から見た各物体の位置を\(r\)として考えることにします。
重心から見た各物体の速さから全体の運動量\(\displaystyle P\)を考えると、下のようになります。
重心の式を代入するとキャンセルするため、結局\(P=0\)になります。
そのため、ばねで繋がれた系の運動量を考えるためには、重心についてのみ考えればよいということになります。
運動エネルギー
続いて、運動エネルギーを考えてみましょう。
これは重心から見たものではなくて、単純に全体の運動エネルギーを出したものです。
すると、\(x\)が\(r+X\)で書けることより、このようになります。
この式で第一項と第二項は重心から見たときの運動エネルギーになっており、第三項目は重心だけの運動エネルギーになっています。
ここで、二物体間の距離を添え字がついてない\(r\)として、\(r_1\)と\(r_2\)を表すとこのようになります。
これを重心から見た運動エネルギーの式に入れると、1個の物体の調和振動の式になります。
ただし、質量部分は少し複雑で\(\displaystyle \frac{m_1m_2}{m_1+m_2}\)というものになっています。
これは換算質量と呼ばれる値で、ここでは\(\mu\)で表すことにします。
換算質量
このように、それぞれの質量を逆数にして足すと、換算質量\(\mu\)の逆数になるという関係になっています。
この換算質量を使うと、全体のエネルギーはこのように書けることになります。
この式からわかることは、重心の運動を分離して考えると、二物体の運動は1つの物体の運動として考えることができるということです。
つまりは下図のように、片方が壁に固定されている物体が1個運動しているように見なすことができます。
その物体の計算上の質量こそが換算質量だということになります。
試しに重心を無視して単振動の式を考えると、ただの三角関数が得られることになります。
練習問題
ここで、練習問題をやってみようと思います。
ここからは大学の内容が入ってくるのですが、\(\displaystyle ^{12}\rm{C}\)\(\)と\(\displaystyle ^1\rm{H}\)\(\)の間に単結合があったとして、その振動準位が\(3400\ \rm{nm}\)\(\)の赤外線を吸収するとともに励起されたとします。
このとき、\(\displaystyle \rm{C-H}\)\(\)結合の力の定数\(k\)はいくらになるでしょうか？
こちらが計算に使うパラメータです。
\(M_\rm{C}\)\(\)、\(M_\rm{H}\)\(\)はそれぞれ炭素原子と水素原子のモル質量です。
\(N_\rm{A}\)\(\)はアボガドロ数、\(c\)は光の速さです。
光子1個当たりのエネルギーは、プランク定数と振動数の積で与えられることから、この式が成り立つことになります。
それぞれ値を入れて計算することで、\(\omega\)が\(5.54×10^{14}\ \rm{rad\ s}^{-1}\) となることがわかります。
そして換算質量も求めると、\(1.53×10^{-24}\ \rm{g}\)になります。
\(\displaystyle \omega=\sqrt{\frac{k}{\mu}}\)より、\(k=\mu \omega ^2\)となるので、あとは数値を代入すれば、\(470\ \rm{kg\ s}\)\(^{-2}\)という値が出てきます。
ばね定数は、SI単位系以外に\(\rm{N\ mm}^{-1}\)という単位もよく使われますが、それだと\(0.470\ \rm{N\ mm}^{-1}\)となります。
これは、よく売っているばねの中だと、比較的柔らかめのばねの値と同じくらいだそうです。
まとめ
はい、今回の内容は以上です。
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それではどうもありがとうございました！
