【大学の数学】サイエンスのための微分方程式、解き方と練習問題

数学

こんにちは!ばけねこです。今回のテーマはこちら!

サイエンスでもよく使うレベルの微分方程式の解法をマスターしよう!

動画はこちら↓

動画で使ったシートはこちら(differential equationdifferential equation2)

微分方程式をやります!とは言っても僕は数学が専門じゃないのであまり難しい内容は扱わず、サイエンスでもよく使うぐらいの内容に限ってお話ししていきたいと思います。

ではいきましょう!

微分方程式とは

まず微分方程式とはどういうものかというところから始めます。

例えば、下の式は高校の物理で習うばねの単振動の式ですが、これが微分方程式の例です。

方程式の中に加速度という二回微分が含まれています。

高校では\(x\)が\(\sin\)の波で与えられると習いますが、今回はこのように\(x\)を\(t\)の関数として求める方法をご説明します。

その前にまず、微分方程式を解くうえで知っておくべきことを1つ言っておくと、微分方程式を解いて得られる解は特に条件がなければ、1つの関数に定まりません。

不定積分で積分定数が付くのと同じように、微分方程式の解は任意の定数を含む一般解の形で与えられます。

それでは解法の紹介に行きます。

この記事では2つの解法を紹介するんですけど、実際には他の微分方程式のパターンや解法もあるのでそこは重ねて注意しておきます。

解法①:両辺を積分する

1つ目の解法は両辺を積分する方法です。

例としてこの微分方程式を解いてみます。

まず始めにすることは左辺を\(x\)だけの式、右辺を\(t\)だけの式にすることです。

それができたら両辺にインテグラルをつけて不定積分します。

あとはそれを変形してあげるとこのように解を得ることができます。

ここで\(C\)は全て任意の定数です。

しかし、①の方法は変数ごとに分けられる場合しか使えないので、もっと広く使える解法を紹介します。

解法②:特性方程式を解く

例としてこの式を解いてみます。

まず微分方程式からこのような方程式を作ります。

微分した回数分が\(λ\)の指数になるように式を書きます。

\(x\)は\(0\)回微分なので、\(λ\)の\(0\)乗、つまり\(1\)という事で係数をそのまま持ってきます。

そしてこの方程式を解くと\(λ\)の解は\(3\)と\(-1\)と出ました。

この場合、\(x\)の一般解はこのように書くことができます。

\(e\)の指数部分が\(λt\)になっていて、それらの足し合わせになっています。

本当に方程式を満たしているのか、試しに\(x\)にこれを代入して計算してみると、この通り等式は成り立っています。

この解き方は慣れれば簡単なので、実際に手を動かしてみることをおすすめします。

特性方程式が二重解を持つとき

例えばこんな微分方程式があったとします。

\(λ\)の解は\(2\)のみで、二重解です。

この場合の\(x\)の一般解はこうなります。

実際に代入してみると確かに、等式は成り立っています。

特殊解の求め方

では今度少し変わった微分方程式という事でこんな形を考えてみます。

変わったことといえば微分方程式の中に\(3\)という定数が入ってきたことです。

この場合どうやって解くかというと、まず\(3\)を無視してこの形で\(x\)の一般解を求めます。

そのあとで、\(3\)を考慮してこのように\(C_2\)という定数項が付くことを考えます。

定数項なら微分しても消えるので、あとは右辺で\(3\)が消えるための\(C_2\)を求めてあげることで\(x\)の式を得ます。

このような解は特殊解と呼ばれます。

こういう計算は物理や化学、生物でもよく出てくるものなのでできるようにしておきましょう。

練習問題

といったところで恒例の練習問題をやって終わります。

物理の問題なので、高校で取ってなかった方は難しいかなと思いますが、その場合はこの答えを理解できるまでじっくり見て頂ければと思います。

質量\(m\)の物体を\(h\)という高さから時刻\(0\)で手を放して落下させました。

その時物体の速さに比例する空気抵抗(比例定数\(k\))を受けていた場合、時刻\(t\)での物体の位置を\(t\)の関数として表すとどのような形になるでしょうかというのが今回の問題です。

図で表すとこんな感じになっています。

答え

式で書くとこんな感じです。

ここから頑張って解いてみてください。

注意しておくべきことは、この問題では初期条件が与えられていて、ただ1つの答えが導かれます

その初期条件は時刻\(0\)で\(y=h\)、そして速度は\(0\)だという事です。

最終的に得られる答えはこちらです。

まとめ

という事で今回は微分方程式をサイエンスでもよく使う基本に限定してお話ししました。

余談ですが、微分方程式は昔、高校の範囲でした(僕が好きな映画「容疑者\(x\)の献身」でも言及されています)。

高校生でも微分方程式ができるようになれば、物理の理解が一気に進むと思いますので、ぜひトライしてみてください!

といったところで今回は以上になります。どうもありがとうございました!

コメント

タイトルとURLをコピーしました