こんにちは！
それでは今回も化学のお話やっていきます。
今回のテーマは、こちら！
動画はこちら↓
動画で使ったシートはこちら(reversed Carnot cycle)
それでは、内容に入っていきます！
「逆」の意味
それではまず、逆カルノーサイクルの「逆」とは、何を指しているのかというところから、始めていきます。
まず、こちらは前回やったカルノーサイクルで、2つの等温変化と2つの断熱変化で構成されています。
これを\(p\)-\(V\)グラフ上で時計回りになるように変化させることで、熱を仕事に変換させる装置ができます。
具体的に熱を受け取るのは等温膨張過程で、系が外部へした仕事がこのサイクルによって閉じられた部分の面積に相当します。
また、受け取った熱のうちの一部は必ず等温圧縮過程で熱のまま放出されます。
そして、逆カルノーサイクルの模式図はこんな感じです。
2つの等温変化と2つの断熱変化で1周するのは同じですが、変化する方向が逆の反時計回りになります。
このように変化させると、閉じられた領域の面積は、系へされた仕事に等しくなります。
また、熱を受け取る等温膨張過程が低温熱源、熱を放出する等温圧縮過程が高温熱源で起こるようになります。
逆カルノーサイクルの役割を表したものが右上の図で、系へ仕事を与えることにより、熱を低温側から高温側へと送っているということになります。
何も仕事をしていないとき、熱は高温側から低温側へと流れていくのが普通なので、系に対して仕事をするというのが、逆カルノーサイクルのポイントになります。
各過程における仕事と熱
これ以降の話では各過程における熱と仕事を考えていきますが、定積熱容量\(C_V\)の温度依存性は無視できるものとします。
また、系は可逆系であることを仮定します。
それでは、各過程を個々に考えていきます。
等温圧縮(\(1\)→\(2\))
まずは状態\(1\)から\(2\)への等温圧縮過程です。
カルノーサイクルの記事で、すでにやったことなので、軽くお話ししていきます。
詳しくは、こちらを参考にしてください。
変化が始まってから終わるまでのトータルの量は、微小量の積分によって得られます。
系に与えられた微小な仕事\(\rm{d’}\)\(w\)は\(-p\rm{d}\)\(V\)となり、理想気体の状態方程式より\(p=nRT/V\)となるため、トータルの仕事\(w\)は\(-nRT_\rm{A}\)\(\ln{(V_2/V_1})\)となります。
理想気体の内部エネルギーの変化量は温度の変化量に比例するため、等温変化では内部エネルギー一定ということになります。
したがって熱力学第一法則より系へ与えられた熱量\(q\)は\(-w\)となります。
\(V_2\)は\(V_1\)より小さいため、この\(q\)の値は負であり、実際には熱が放出されていることになります。
断熱膨張(\(2\)→\(3\))
続いて、状態\(2\)から\(3\)への断熱膨張過程です。
熱の出入りがないとき、系へ与えられた熱量は、内部エネルギーの変化量に等しくなるため\(C_\rm{V}\)に温度の変化量をかけた値となります。
\(T_\rm{A}\)は\(T_\rm{B}\)より高いため、これは負の値になります。
等温膨張(\(3\)→\(4\))
そして、状態\(3\)から\(4\)への等温膨張過程でも、先ほどと同様にして求めることができます。
\(V_4\)は\(V_3\)よりも大きいため、\(q\)は正の値となり、ここで熱を受け取っていることになります。
断熱膨張(\(4\)→\(1\))
最後、状態\(4\)から\(1\)でも仕事がこのように導かれ、この値は正になります。
サイクル全体
サイクル全体で、系に与えられた仕事を考えると、断熱過程の値がキャンセルして、等温過程の値だけが残ります。
また、ポアソンの式を使うと、\(V_4/V_3\)が\(V_1/V_2\)と等しくなることがわかるので、これを代入すると、サイクル全体の仕事\(W=nR(T_\rm{A}\)\(-T_\rm{B}\)\()\ln{(V_1/V_2)}\)となります。
ポアソンの式の導出過程については、こちらを参照してください。
この値は、\(p\)-\(V\)グラフ上において、サイクルによって閉じられた領域の面積に等しくなります。
逆カルノーサイクルの効率
次に、逆カルノーサイクルの効率を考えていきたいんですが、実は2つ考えることができます。
冷却効率
まずは、熱を奪う装置としての効率、すなわち冷却効率です。
\(\varepsilon\)として表すと、これは、系にした仕事に対して受け取った熱の量と定義され、結局\(T_\rm{B}\)\(/(T_\rm{A}\)\(-T_\rm{B})\)と、温度だけで表される値になります。
ヒートポンプの効率
そして、逆カルノーサイクルは熱を送ってくれる装置、すなわちヒートポンプとしてもとらえることができます。
その効率を\(h\)とすると、これは、系にした仕事に対して、放出された熱の量として定義されます。
これも結局\(T_\rm{A}\)\(/(T_\rm{A}\)\(-T_\rm{B})\)という風に、温度だけで表される値になります。
練習問題
はい、それでは最後、これに関係した練習問題をやってみましょう。
理想的な逆カルノーサイクルをエアコンとして利用することを考えます。
消費電力が同じとしたとき、暖房と冷房でどちらの方が効率が良いと言えるでしょうか？
ただし、エアコンの形は全く同じで、電力のすべては気体への仕事のために消費されたものとします。
まず冷房では、低温側の部屋内部からどれだけ熱を外に逃がせるかが重要になります。
外にどれだけの熱が放出されるかは、部屋の中の人からすれば問題ではないわけです。
この時の効率は、エアコンに与えられる熱量\(q_\rm{in}\)を分子に持ってきて、\(T_\rm{B}\)\(/(T_\rm{A}\)\(-T_\rm{B})\)となります。
暖房の時には、逆にエアコンから出てくる熱の方が部屋の中の人から見て重要となります。
したがって熱効率は、エアコンから放出される熱量\(q_\rm{out}\)を分子に持ってきて\(T_\rm{A}\)\(/(T_\rm{A}\)\(-T_\rm{B})\)となります。
ここで、\(T_\rm{A}\)は\(T_\rm{B}\)より高い温度であるはずなので、\(h\)は必ず\(\varepsilon\)より大きくなります。
したがって、暖房の方が効率が良いということになります。
まとめ
はい、それでは今回の内容は以上なので、最後おさらいをやって終わります。
今回は、逆カルノーサイクルについてお話ししました。
「逆」とは、\(p\)-\(V\)グラフ上を反時計回りに変化する意味であり、それは同時に熱や仕事の流れが逆向きになっていることになります。
カルノーサイクルは熱を仕事に変換するものでしたが、逆カルノーサイクルは、仕事をされることによって低温熱源から高温熱源へと熱を送るものになります。
何も仕事をしていない状態であれば、熱は高温側から低温側から流れるので、逆カルノーサイクルの熱の動きは、その反対になっています。
そして、逆カルノーサイクルの効率は、冷却装置としての値と、ヒートポンプとしての値が考えられますが、いずれにしてもカルノーサイクルと同様、温度だけで表されることになります。
はい、お話は以上です。
どうもありがとうございました！
