【大学の数学】C^n級関数、偏微分の順序交換、全微分について、わかりやすく解説！

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動画はこちら↓

動画で使ったシートはこちら(total derivative)

それでは内容に入っていきます！

\(C^n\)-級関数

まずは、\(C^n\)級関数の定義についてお話ししていきます。

\(x\)と\(y\)について偏微分可能な二変数関数\(f(x,y)\)があったとして、偏導関数\(\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}\)と\(\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}\)がともに連続のとき、\(f(x,y)\)は\(C^1\)級関数であるといいます。

また、2階の偏導関数は全部4つありますが、これらがすべて連続であるときには、\(f\)は\(C^2\)級となります。

より一般的には、\(n\)次偏導関数がすべて連続のとき、\(f\)は\(C^n\)級関数であると言います。

さらに、無限回偏微分可能であり、高次偏導関数もすべて連続である場合は、\(f\)は\(C^\infty\)級関数であると言います。

偏微分の順番入れ替えは可能か？

続いて、偏微分の順番入れ替えについてお話ししていきます。

例えば、2次偏導関数の中には、\(y\)について偏微分してから\(x\)で偏微分する場合と\(x\)について偏微分してから\(y\)で偏微分する場合があります。

一般的に、\(x\)と\(y\)の順番の入れ替えは成り立ちません。

ただし、\(f\)が\(C^2\)級であった場合には、この入れ替えが可能になります。

これをシュワルツの定理といいます。

ここでは割愛させていただきますが、平均値の定理より証明ができます。

しかし、これは数学をやっている人からすると受け入れがたいのですが、自然科学で扱う関数については、特に偏導関数の連続を確かめることなく、偏微分の入れ替えをすることがほとんどです。

数学的に必要な段階を踏んでいないので、これから自然科学をやろうとしている場合には、ここをしっかり知っておいてほしいと思います。

全微分

それでは、全微分の話に移っていきます。

全微分可能であることの定義は、次のとおりです。

\(f(x,y)\)が点\((a,b)\)で全微分可能であるというのは、\(f(x,y)\)は\((a,b)\)で連続であり、\(C(a,b)=0\)となる連続関数\(C(x,y)\)を使って、点\((a,b)\)の周辺で\(f(x,y)=f(a,b)+A(a-x)+B(y-b)+\rho (x,y)C(x,y)\)という形で\(f(x,y)\)が表せるというものです。

ここで\(A\)と\(B\)は定数であり、\(\rho (x,y)\)は点\((x,y)\)と点\((a,b)\)の距離になります。

もし、点\((a,b)\)から点\((a+\rm{d}\)\(x,b+\rm{d}\)\(y)\)まで、ほんの少しだけ動いたことを考えると、\(f\)の変化量\(\rm{d}\)\(f=A\rm{d}\)\(x+B\rm{d}\)\(y+\sqrt{\rm{d}\mathit{x}^2+\rm{d}\mathit{y}^2}\rm{d}\)\(C\)となります。

右辺の第三項は、\(\rm{d}\)\(x\)と\(\rm{d}\)\(y\)がとても小さい場合にほぼ\(0\)になるため、これを無視すると、\(\rm{d}\)\(\displaystyle f=(\frac{\partial f}{\partial x})_y\rm{d}\)\(\displaystyle x+(\frac{\partial f}{\partial y})_x\rm{d}\)\(y\)となります。

この\(\rm{d}\)\(f\)を\(f\)の全微分と呼びます。

熱力学では、この全微分が頻繁に出てきます。

練習問題

最後に、練習問題をやってみましょう。

\(\rm{d}\)\(f=a\rm{d}\)\(x-b\rm{d}\)\(y\)のとき、\(\displaystyle \frac{\partial b}{\partial x}\)を\(a\)と\(y\)を使って表すと、どうなるでしょうか？

ただし、\(f\)は\(C^2\)級であるとします。

まとめ

今回の内容は以上です。

間違いの指摘、リクエスト、質問等あれば、Twitter(https://twitter.com/bakeneko_chem)かお問い合わせフォームよりコメントしてくださると、助かります。

それではどうもありがとうございました！