こんにちは!
今日も化学のお話やっていきましょう。
今回のテーマはこちら!
動画はこちら↓
動画で使ったシートはこちら(hydrogen 1、hydrogen 2、hydrogen 3、hydrogen 4)
それでは早速内容に入っていきましょう!
(動画Part 1の内容)
シュレディンガー方程式の限界
実は、シュレディンガー方程式では多体問題を厳密に解くことができません。
シュレディンガー方程式の導出過程については、こちらもあわせてご覧ください。

原子は、原子核と電子という少なくとも2個以上の量子から構成されるので、厳密な計算はできないということになります。
ただそれでは困るので、何とか近似をして計算できるようにする方法が提案されました。
その方法は、ボルン=オッペンハイマー近似と言います。
陽子の質量は電子の約1840倍なので、原子核の運動は電子に比べると、非常に遅いことになります。
そこで、原子核の運動は止まっていて、電子だけの計算をすればよいとしたのが、このボルン=オッペンハイマー近似です。
こうすることで、電子が1個のときだけ計算ができるようになります。
例としては、
水素原子について解けば、あとは原子核の電荷を変化させればよいだけなので、ここからは水素原子について考えていきます。
水素原子のシュレディンガー方程式
水素原子のシュレディンガー方程式は、以下のとおりに書けます。
ここから少しテクニカルなのですが、波動関数
この
詳しくはこちらの記事をご覧ください。

波動関数
ここから、この式を変形していきます。
まず、この式を整理すると、下の形になります。
これの両辺に
この式をよく見てみると、左辺には角度パラメータがなく、動径
そして、右辺は角度だけの関数になっています。
この等号が常に成り立つということは、この値がパラメータに依存しない定数だということになります。
したがって、この式の左辺を定数
さらに、球面調和関数が
この式でも左辺は
すると、
微分方程式については、こちらをご覧ください。

これを解くと、下のようになります。
ここで、極座標での
したがって、
この関係式を満たす条件は、
この整数
最後、規格化条件から
(動画Part 2の内容)
角運動量
まず、角運動量というものについてお話します。
角運動量とは、回転運動を考える際に便利な量で、位置ベクトルと運動量ベクトルの外積で定義されます。
角運動量には、エネルギーや運動量同様、保存則が成り立つことが知られています。
角運動量は外積、つまりベクトルなので、大きさだけでなく方向も含めて保存されます。
角運動量の方向が保存されることを利用しているのが自転車です。
ゆっくり漕いだときだけ左右にふらつくのは、角運動量の大きさが小さく、人が及ぼす外力の影響が大きくなるからです。
速く漕いだときに軸の方向が安定する効果のことは、ジャイロ効果と呼びます。
水素原子中の電子の角運動量
ではここからは、水素原子中の電子の角運動量を考えていきます。
まず、3次元での角運動量演算子は、このように表すことができます。
それぞれの成分は、位置ベクトルと運動量演算子を使って、外積の計算から導くことができます。
これを極座標にすると、こちらのようになります。
この結果より、全体の軌道角運動量演算子
Part 1の中で出てきた式を思い出してみると、そのまま角運動量演算子が入っています。
この式に、
また、
すると、先ほどの式は下のような形になります。
複雑な式ですが、ここで
ここで、最高の次数は
まず、簡単な場合として、
すると、下の式が成り立つわけですが、ここで
最も次数が大きい
右辺が
この関係より、
これ以降の計算過程は複雑なため結果だけを示すと、
この
また、
これもテクニカルなのですが、
このときに
そして、
ここで、
先ほどと同じように、
以上より、
方位量子数と磁気量子数の関係は、電子の数が2個、8個、18個…で閉殻の状態になることを説明するのに重要となります。
詳しくは、本記事の練習問題の解答をご覧ください。
結局のところ、
最後に規格化定数を求めれば、球面調和関数を求めることができます。
多変数関数の重積分で、座標系を変えた場合には、ヤコビアンもかけて積分します。
詳しくはこちらをご覧ください。

最終的に得られた球面調和関数の例を示すと、以下のようになります。
(動画Part 3の内容)
動径関数
ここからは、
まず、シュレディンガー方程式の両辺を球面調和関数で割ったものが、こちらの式になります。
ここで、
ここから変形を始めていくわけですが、まずは距離
それを
ここで
上式で、
変数を
両辺に
ボーア半径の式より、上式の波線部は
これを満たす関数
その次数を
先ほどの式で、最低次の項は
これが
では今度、反対に
これは簡単に解ける微分方程式で、上のような解が得られます。
ここで、
電子が原子核の拘束を受けないほど離れてしまったら、それはもはや原子ではありません。
よって、
ここまでの情報から、
では最後、この
上記の内容と同様に、べき級数で書いてみましょう。
最高次数を
まず、
最高次数ではないのですが、
実際に微分して、その係数を
では今度、
ここで、
この
方位量子数
(動画Part 4の内容)
量子数のまとめ
ここで、これまでの話で出てきた量子数についてまとめてみます。
シュレディンガー方程式からは3種類の量子数が出てきて、それぞれ主量子数、軌道角運動量量子数(または方位量子数)、磁気量子数と呼ばれます。
これらはそれぞれ
しかし、考えるべき量子数はこれですべてではなく、スピン量子数
地球の自転と同じように量子もそれ自身が回っていて、シュレディンガー方程式で求められる軌道角運動量とは別の角運動量をもつことが知られています。
古典的なイメージとしては、電荷を持っている粒子が自転したときに、下図の向きに磁場が発生するようなものです。
その値が
またfermion、bosonとも呼びます。
電子はfermi粒子の1つで、
ここで、軌道という言葉の説明をします。
これは1つの電子の分布を指した言葉で、
スピン量子数は、電子の分布には関係しません。
この軌道という言葉は、英語でorbitalといって、軌跡のようなものという意味になります。
電子そのものの位置は特定できず、雲のように広がっているイメージなので、ボールなどの軌跡を指すorbitとは区別されています。
電子が軌道に入るルール
ここからは、電子がそれぞれの軌道を占有するときのルールについて、お話しします。
パウリの排他原理
まず、fermi粒子はパウリの排他原理に従います。
これは、まったく同じ状態を2個以上の粒子がとることはないというルールです。
同一の原子核に拘束された複数の電子が、
フントの規則
もう1つ、フントの規則というルールがあります。
同じエネルギーの軌道が複数あるとき、電子は可能な限りスピンを平行にして異なる軌道に入ります。
図を使って説明すると、次のようになります。
まず、同じエネルギーの軌道が複数あるとき、縮退しているといいます。
縮退している2つの軌道を2個の電子が占有することを考えると、下図の左側のように片方の軌道に2個が異なるスピンをもって入るのは、エネルギー的に不利であり、右側のように1個ずつ入って、さらにスピンも同じ向きになります。
なぜこうなるかというと、まず電子は負電荷をもっているので、他の電子となるべく距離をとることで、静電反発を最小化しようとするため、別々の軌道を占有しようとします。
そして、スピンがそろうのは、量子力学的な(スピン波動関数が直交しないため、交換積分が
、 、 のとりうる値
ここからは
これまでの内容で、
これは自然数である
具体的には、このような条件になります。
それぞれの軌道には、
軌道の名前を付けるときには、数字+小文字のアルファベットで表します。
数字が主量子数
の場合
では、実際に
まず、
したがって、この場合は
の場合
ここで、
の場合
軌道の形
主量子数
方位量子数
磁気量子数
軌道の形
まず
軌道の形
方向は
上図で黒く塗った部分と白く塗った部分があるのは、これは波の位相の符号を表しています。
正弦波だと、下図のようなイメージです。
黒い部分と白い部分で、電荷の符号が違うというわけではないので、注意してください。
軌道の形
5つのうち、3つは
そして、1つは
5つ目は
これら軌道の形は、錯体の物性に影響を及ぼすため、無機化学でとても重要になります。
練習問題
それでは、練習問題をしてみましょう。
Part 2の内容より
(1)
Part 3の内容より
(2)実は、シュレディンガー方程式から出たエネルギーは、ボーアの原子モデルから求めたものと一致します。
それを確かめてください。
Part 4の内容より
高校化学で習う電子殻について、K殻には電子が2個入って、L殻には電子が8個入るというルールがありました。
ということで、内殻側から
すると
次に、
すると、下のように
これにより、
したがって
このときは、波動関数が原子核からの距離
(2)ボーアの原子モデルの連立方程式を解くと、回転半径
これを全エネルギーの式に代入すると、エネルギーが
これがシュレディンガー方程式の答えと一致することを示すには、その比をとって
ボーアのモデルは、量子の波動性を考えながら古典力学を使うという強引なモデルなのですが、水素様原子のエネルギーに関しては、正しい値が出ます。
(3)とりうる
その総数は
スピンを考慮しているので、
この級数の和を求めると、
まとめ
はい、今回の内容は以上です。
間違いの指摘、リクエスト、質問等あれば、Twitter(https://twitter.com/bakeneko_chem)かお問い合わせフォームよりコメントしてくださると、助かります。
それではどうもありがとうございました!